Рассеяние микрочастиц

Рассеяние микрочастиц, теория рассеяния, процесс столкновения частиц, в результате которого меняются импульсы частиц (упругое рассеяние) или наряду с изменением импульсов меняются также их внутреннего состояния либо образуются др. частицы (неупругое рассеяние).

  Одна из основных количественных характеристик как упругого рассеяния, так и неупругих процессов, — эффективное поперечное сечение процесса (называемое обычно просто сечением) — величина, пропорциональная вероятности процесса и имеющая размерность площади (см ²). Измерение сечений процессов позволяет изучать законы взаимодействия частиц, исследовать структуру частиц. Например, классическими опытами Э. Резерфорда по рассеянию a-частиц атомами было установлено существование атомных ядер (см. Резерфорда формула); из опытов по рассеянию электронов большой энергии на протонах и нейтронах (нуклонах) получают информацию о структуре нуклонов; эксперименты по упругому рассеянию нейтронов и протонов протонами позволяют детально исследовать ядерные силы и т.д. (О столкновениях атомов и ядер см.(смотри) Столкновения атомные, Ядерные реакции.)

  Классическая теория рассеяния. Согласно законам классической (нерелятивистской) механики, задачу рассеяния двух частиц с массами m₁ и m₂ можно свести переходом к системе центра инерции сталкивающихся частиц (системе, в которой покоится центр инерции частиц, т. е. суммарный импульс частиц равен нулю) к задаче рассеяния одной частицы с приведённой массой m = m₁m₂/(m₁ + m₂) на неподвижном силовом центре. В силовом поле (с центром О) траектория частицы искривляется — происходит рассеяние. Угол между начальным (р_нач) и конечным (р_кон) импульсами рассеиваемой частицы называется углом рассеяния. Угол рассеяния J зависит от взаимодействия между частицами и от т. н. прицельного параметра r — расстояния, на котором частица пролетела бы от силового центра, если бы взаимодействие отсутствовало (рис. 1). Классическая механика устанавливает следующую связь между прицельным параметром и углом рассеяния:

,

где U (r) — потенциальная энергия взаимодействия, r — расстояние до силового центра (r_мин — минимальное расстояние), Е = р²_нач/2m — энергия частицы.

  На опыте обычно не измеряют рассеяние индивидуальной частицы, а направляют на мишень из исследуемого вещества пучок одинаковых частиц, имеющих одинаковую энергию, и измеряют количество частиц, рассеянных под данным углом. Число частиц dN, рассеянных в единицу времени на углы, лежащие в интервале J, J + dJ, равно числу частиц, проходящих в единицу времени через кольцо 2prdr×n. Если n — плотность потока падающих частиц (число частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения частиц в пучке), то dN = 2prdr×n, а сечение упругого рассеяния ds определяется как отношение dN /n и равно

     (2)

(т. е., как уже отмечалось, сечение имеет размерность площади). Сечение рассеяния на все углы — полное сечение рассеяния — получается интегрированием (2) по всем прицельным параметрам. Если а — минимальный прицельный параметр, при котором J = 0 (т. е. частица проходит без отклонения), то полное сечение рассеяния s = pa².

  Квантовая теория рассеяния. В квантовой теории процессы упругого рассеяния и неупругие процессы описываются амплитудами рассеяния — комплексными величинами, квадрат модуля которых пропорционален сечениям соответствующих процессов. В 1943 В. Гейзенберг для описания процессов рассеяния ввёл т. н. S-матрицу, или матрицу рассеяния. Её матричные элементы определяют амплитуды различных процессов. Через матричные элементы S-матрицы выражаются физические величины, непосредственно измеряемые на опыте: сечение, поляризация частиц (среднее значение оператора спина), асимметрия, возникающая при рассеянии на поляризованной мишени и др. С др. стороны, матричные элементы S-матрицы могут быть вычислены при определённых предположениях о виде взаимодействия. Сравнение результатов опыта с предсказаниями теории позволяет проверить теорию.

  Общие принципы инвариантности (инвариантность относительно вращений, из которой вытекает сохранение момента количества движения, отражений — сохранение чёткости, обращения времени и др.) существенно ограничивают возможный вид матричных элементов S-матрицы и позволяют получить проверяемые на опыте соотношения. Например, из закона сохранения чётности следует, что поляризация конечной частицы при столкновении неполяризованных частиц направлена по нормали к плоскости рассеяния (плоскости, проходящей через начальный и конечный импульсы частицы). Измеряя направление вектора поляризации, можно выяснить, сохраняется ли чётность во взаимодействии, обусловливающем процесс. Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий приводит к соотношениям между сечениями различных процессов, а также к запрету некоторых процессов. В частности, из изотопической инвариантности следует, что при столкновении двух дейтронов не могут образоваться a-частица и p°-мезон. Исследование этого процесса на опыте подтвердило справедливость изотопической инвариантности.

  Условие унитарности S-матрицы, являющееся следствием сохранения полной вероятности (суммарная вероятность рассеяния по всем возможным каналам реакции должна равняться 1), также накладывает ограничения на матричные элементы процессов. Одно из важных соотношений, вытекающих из этого условия, — оптическая теорема, связывающая амплитуду упругого рассеяния на угол 0° с полным сечением (суммой сечений упругого рассеяния и сечений всех возможных неупругих процессов).

  Из общих принципов квантовой теории (микропричинности условия, релятивистской инвариантности и др.) следует, что матричные элементы S-матрицы являются аналитическими функциями в некоторых областях комплексных переменных. Аналитические свойства матричных элементов S-матрицы позволяют получить ряд соотношений между определяемыми из опыта величинами — т. н. дисперсионные соотношения (см. Сильные взаимодействия), Померанчука теорему и др.

  В случае упругого рассеяния бесспиновых частиц асимптотика волновой функции Y(r), являющейся решением Шрёдингера уравнения, имеет вид:

     (3)

  Здесь r — расстояние между частицами, k = p/ — волновой вектор, р — импульс в системе центра инерции (с. ц. и.) сталкивающихся частиц,  — постоянная Планка, J — угол рассеяния, f (J) — амплитуда рассеяния, зависящая от угла рассеяния и энергии сталкивающихся частиц. Первый член в этом выражении описывает свободные частицы с импульсом р =  k (падающая волна), второй — частицы, идущие от центра (рассеянная волна). Дифференциальное сечение рассеяния определяется как отношение числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла dW, к плотности потока падающих частиц. Сечение рассеяния на угол J (в с. ц. и.) в единичный телесный угол равно:

     (4)

  Для амплитуды рассеяния имеет место следующее разложение по парциальным волнам (волнам с определённым орбитальным моментом l):

     (5)

  Здесь P_l (cosJ) — Лежандра многочлен, S_l — коэффициенты разложения, которые зависят от характера взаимодействия и являются матричными элементами S-матрицы (в представлении, в котором она диагональна по энергии, моменту количества движения и проекции момента). Если число падающих на центр частиц с моментом l равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (случай упругого рассеяния), то IS_ll = 1. В общем случае lS_ll £ 1. Эти условия являются следствием условия унитарности S-матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то S_l может быть представлено в виде: S_l = e^2id_l , где d_l — вещественные величины, называемые фазами рассеяния. Если d_l = 0 при некотором l, то рассеяние в состояние с орбитальным моментом l отсутствует.

  Полное сечение упругого рассеяния равно:

     (6)

где ; — парциальное сечение упругого рассеяния частиц с орбитальным моментом l, = 1/k — длина волны де Бройля частицы. При Sl = —1  достигает максимума и равно:

     (7)

при этом d_l = p/2 (резонанс в рассеянии). Т. о., при резонансе сечение процесса определяется де-бройлевской длиной волны  и для медленных частиц, для которых  >> R₀, где R₀ — радиус действия сил, намного превосходит величину pR₀² (классическое сечение рассеяния). Этот факт (непонятный с точки зрения классической теории рассеяния) является следствием волновой природы микрочастиц.

  Поведение сечения рассеяния вблизи резонанса определяется формулой Брейта — Вигнера:

,     (8)

где E₀ — энергия, при которой сечение достигает максимума (положение резонанса), а Г— ширина резонанса. При Е = E₀ ± ¹/₂G сечение s_l равно ¹/₂ . Полное сечение всех неупругих процессов равно:

     (9)

  Условие унитарности ограничивает величину парциального сечения для неупругих процессов:

.     (10)

  Для короткодействующих потенциалов взаимодействия основную роль играют фазы рассеяния с l £ b/k, где b — радиус действия сил. Это условие можно переписать следующим образом: l/k £ b; величина l/k определяет минимальное расстояние, на которое может приблизиться к центру сил свободная частица с моментом l (прицельный параметр в квантовой теории). При bk << 1 (малые энергии) следует учитывать только S-волну (парциальную волну с l = 0). Амплитуда рассеяния в этом случае равна:

     (11)

и сечение рассеяния не зависит от угла (рассеяние сферически симметрично). При малых энергиях имеет место разложение:

     (12)

  Параметры а и r₀ называются соответственно длиной рассеяния и эффективным радиусом рассеяния. Эти величины определяются из опыта и являются важными характеристиками сил, действующих между частицами. Длина рассеяния равна по величине и противоположна по знаку амплитуде рассеяния при k = 0. Полное сечение рассеяния в точке k = 0 равно s₀ = 4pa².

  Если у частиц имеется связанное состояние с малой энергией связи, то рассеяние таких частиц при kb << 1 носит резонансный характер (типичный пример — рассеяние нейтронов протонами в состоянии с полным спином J = 1; в этом состоянии у системы нейтрон — протон имеется уровень, соответствующий связанному состоянию — дейтрону). Сечение рассеяния в этом случае зависит только от энергии связи.

  Если параметр kb невелик, фазы рассеяния могут быть найдены из измеренных на опыте значений сечения и др. величин. Эта процедура называется фазовым анализом. Найденные путём фазового анализа фазы рассеяния сравниваются с предсказаниями теории и позволяют, т. о., получить важную информацию о характере взаимодействия.

  Один из основных приближённых методов теории рассеяния — теория возмущений (метод решения, основанный на разложении в ряд по малому параметру). Если падающая плоская волна, описывающая начальные частицы, слабо возмущается потенциалом взаимодействия, то применимо т. н. борновское приближение (первый член ряда теории возмущений). Амплитуда упругого рассеяния в борновском приближении равна:

     (13)

где q = 2ksin (J/2), V (r) — потенциал взаимодействия, m = m₁m₂/(m₁ + m₂) — приведённая масса (m₁ и m₂ — массы частиц).

  Для описания процессов рассеяния при высоких энергиях используются методы квантовой теории поля. Например, упругое рассеяние электронов (е) протонами (р) в низшем порядке теории возмущений (применимость теории возмущений в данном случае основывается на малости постоянной тонкой структуры a » ¹/₁₃₇, характеризующей «силу» электромагнитного взаимодействия) обусловлено обменом фотоном между электроном и протоном (Фейнмана диаграмма, рис. 2). В выражение для сечения этого процесса входят зарядовый (электрический) и магнитный формфакторы протона — величины, характеризующие распределение электрического заряда и магнитного момента протона (электромагнитную структуру протона). Информация об этих важнейших характеристиках протона может быть получена, следовательно, непосредственно из измеренных на опыте значений сечения упругого рассеяния электронов протонами. При достаточно высоких энергиях наряду с упругим ер-рассеянием становятся возможными неупругие процессы образования частиц. Если на опыте регистрируются только электроны, то тем самым измеряется сумма сечений всех возможных процессов.

  Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 3 изд., М., 1974 (Теоретическая физика, т. 3); Давыдов А. С., Квантовая механика, 2 изд., М., 1973; Гольдбергер М., Ватсон К., Теория столкновений, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1967; Мотт Н., Месс и Г., Теория атомных столкновений, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1951; Ситенко А. Г., Лекции по теории рассеяния, К., 1971.

  С. М. Биленький.

Рис. 2. к ст. Рассеяние микрочастиц.

Рис. 1. к ст. Рассеяние микрочастиц.