Площа , одна з основних величин, пов'язаних з геометричними фігурами. У простих випадках вимірюється числом тих, що заповнюють плоску фігуру одиничних квадратів, тобто квадратів із стороною, рівній одиниці довжини.
Обчислення П. було вже в давнину одному з найважливіших завдань практичної геометрії (розбиття земельних ділянок). За декілька століть до нашої ери грецькі учені мали в своєму розпорядженні точні правила обчислення П., які в «Початках» Евкліда вдягнулися у форму теорем. При цьому П. багатокутників визначалися тими ж прийомами розкладання і доповнення фігур, які збереглися в шкільному викладанні. Для обчислення П. фігур з криволінійним контуром застосовувався граничний перехід у формі вичерпання методу .
Теорія П. плоских фігур, обмежених простими (тобто що не пересікають себе) контурами, може бути побудована таким чином. Розглядаються всілякі багатокутники, вписані у фігуру F, і всілякі багатокутники, описані довкола фігури F. (Обчислення П. багатокутника зводиться до обчислення П. рівновеликого йому квадрата, який може бути отриманий за допомогою належних прямолінійних розрізів і перекладання отриманих частин.) Хай {S i } — числова безліч П. вписаних у фігуру багатокутників, а {S d } — числова безліч П. описаних довкола фігури багатокутників. Безліч {S i } обмежена зверху (площею будь-якого описаного багатокутника), а безліч {S d } обмежена знизу (наприклад, числом нуль). Найменше з чисел , безліч {S i } , що обмежує зверху, називається ніжней площею фігури F, а найбільше з чисел, безліч {S d }, що обмежує знизу, називається верхньою площею фігури F. Якщо верхня П. фігури збігається з її ніжней П., то число S = називається площею фігури, а сама фігура — квадрованою фігурою. Для того, щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і досить, щоб для будь-якого позитивного числа e можна було вказати такий описаний довкола фігури багатокутник і такий вписаний у фігуру багатокутник, різниця S d —S i площ яких була б менше e.
Аналітично П. плоскої фігури може бути обчислена за допомогою інтегралів. Хай фігура F — т.з. криволінійна трапеція ( мал. 1 ) — обмежена графіком заданою на сегменті [ а , b ] безперервної і ненегативної функції f ( x ) , відрізками прямих х = а і х = b і відрізком осі Ox між крапками ( а , 0) і ( b , 0). П. такої фігури може бути виражена інтегралом
.
П. фігури, обмеженої замкнутим контуром, який зустрічається з паралеллю до осі Оу не більше ніж в двох крапках, може бути обчислена як різниця П. двох фігур, подібних до криволінійної трапеції. П. фігури може бути виражена у вигляді подвійного інтеграла:
,
де інтеграція поширюється на частину плоскості, зайнятою фігурою.
Теорія П. фігур, розташованих на кривій поверхні, може бути визначена таким чином. Хай F — одинзв'язна фігура на гладкій поверхні, обмежена кусочно гладким контуром. Фігура F розбивається кусочно гладкими кривими на кінцеве число частин Ф i , кожна з яких однозначно проектується на дотичну плоскість, що проходить через точку M i , що належить частині Ф i ( мал. 2 ). Межа сум площ цих проекцій (якщо він існує), узятих по всіх елементах розбиття, за умов, що максимум діаметрів цих елементів прагне до нуля і що він не залежить від вибору точок M i , називається площею фігури F. Фігура на поверхні, для якої ця межа існує, називається квадрованою. Квадрованими є кусочно гладкі обмежені повні двосторонні поверхні. П. всієї поверхні складається з П. складових її частин.
Аналітично П. фігури F на поверхні, заданій рівнянням z = f ( x, в ) , де функція f однозначна і має безперервні приватні похідні, можливо виражена таким чином
.
Тут G — замкнута область, що є проекцією фігури F на плоскість Оху, ds — елемент площі на поверхні.
Про узагальнення поняття П. див.(дивися) Міра безлічі .
Літ.: Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1—2, М., 1970; Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1—2, М., 1971—73.
