Напівгрупа , одне з основних понять сучасної алгебри. П. називається безліч з визначеною на нім операцією, підпорядкованою закону асоціативності . Поняття П. є узагальнення поняття групи : з аксіом групи залишається лише одна; цим пояснюється і термін «П.». Приклади П. в математиці вельми багаточисельні. Це різна безліч чисел разом з операцією складання або множення, замкнуті відносно даної операції (тобто що містять разом з будь-якими двома своїми елементами їх суму або, відповідно, твір), П. матриць відносно множення, П. функцій відносно операції множення, П. безлічі відносно операції пересічення або об'єднання і т.д. Один з простих прикладів П. — безліч всіх натуральних чисел відносно складання; ця П. є частиною (подполугруппой) групи цілих чисел по складанню або, як то кажуть, вложіма в групу цілих чисел. Слід зазначити, що далеко не всяка П. вложіма в групу.
В загальній теорії і деяких застосуваннях важливий наступний приклад П. Пусть Х — довільна безліч і хай на безлічі F x всіх кінцевих послідовностей елементів з Х визначена операція * , задана формулою
( x 1 ..., x n ) * ( y 1 ..., ym ) = ( x 1 ..., x n , y 1 ..., ym ) .
Тогда F x відносно операції * є П.; вона називається вільною П. на безлічі X. Всяка П. є гомоморфний образ (див. Гомоморфізм ) деякою вільною П.
Всяка сукупність перетворень довільної безлічі М-коду, замкнута відносно операції композиції (послідовного виконання), буде П. відносно цієї операції; така, зокрема, сукупність всіх перетворень безлічі М-коду, називається симетричною П. на безлічі М. Багато важливих сукупності перетворень виявляються П., причому часто вони не є групами. З іншого боку, всяка П. ізоморфна (див. Ізоморфізм ) деякій П. перетворень. Таким чином, саме поняття П. виявляється найбільш відповідним для вивчення в найзагальнішому вигляді перетворень. У великій мірі через розгляд перетворень здійснюються зв'язки теорії П. з іншими областями математики, такими наприклад, як сучасна диференціальна геометрія, функціональний аналіз, теорія абстрактної алгебри автоматів.
Перші дослідження, присвячені П., відносяться до 20-м-коду рр. 20 ст До кінця 50-х рр. теорія П. сформувалася в самостійну гілку сучасної алгебри і продовжує активно розроблятися. Вивченням абстрактних (тобто не залежних від конкретної природи елементів) властивостей всіляких асоціативних операцій займається т.з. теорія алгебри П. Одна з головних її завдань полягає в описі будови різних П., їх класифікації. Накладення на напівгрупову операцію тих або інших додаткових обмежень виділяє ряд важливих типів П., серед яких т.з. сповна прості П., інверсні П. і ін. Помітну частину загальної теорії складає теорія представлень П. перетвореннями і матрицями. Внесення в П. додаткових структур, погоджених з напівгруповою операцією, виділяє особливі розділи теорії П., таких, як, наприклад, теорія топологічних П.
Літ.: Сушкевіч А. До., Теорія узагальнених груп, Хар. — До., 1937; Ляпін Е. С., Напівгрупи, М., 1960; Кліффорд А. Х., Престон Р. Би., Теорія алгебри напівгруп, пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1—2, М., 1972; Hofmann До., Mostert P., Elements of compact semigroups, Columbus (Ohio), 1966.
