Полугруппа, одно из основных понятий современной алгебры. П. называется множество с определённой на нём операцией, подчинённой закону ассоциативности. Понятие П. есть обобщение понятия группы: из аксиом группы остаётся лишь одна; этим объясняется и термин «П.». Примеры П. в математике весьма многочисленны. Это различные множества чисел вместе с операцией сложения или умножения, замкнутые относительно рассматриваемой операции (т. е. содержащие вместе с любыми двумя своими элементами их сумму или, соответственно, произведение), П. матриц относительно умножения, П. функций относительно операции умножения, П. множеств относительно операции пересечения или объединения и т.д. Один из простейших примеров П. — множество всех натуральных чисел относительно сложения; эта П. является частью (подполугруппой) группы целых чисел по сложению или, как говорят, вложима в группу целых чисел. Следует отметить, что далеко не всякая П. вложима в группу.
В общей теории и некоторых приложениях важен следующий пример П. Пусть Х — произвольное множество и пусть на множестве Fx всех конечных последовательностей элементов из Х определена операция *, заданная формулой
Тогда Fxотносительно операции * является П.; она называется свободной П. на множестве X. Всякая П. есть гомоморфный образ (см. Гомоморфизм)некоторой свободной П.
Всякая совокупность преобразований произвольного множества М, замкнутая относительно операции композиции (последовательного выполнения), будет П. относительно этой операции; такова, в частности, совокупность всех преобразований множества М, называется симметрической П. на множестве М. Многие важные совокупности преобразований оказываются П., причём часто они не являются группами. С другой стороны, всякая П. изоморфна (см. Изоморфизм)некоторой П. преобразований. Таким образом, именно понятие П. оказывается наиболее подходящим для изучения в самом общем виде преобразований. В большой степени через рассмотрение преобразований осуществляются связи теории П. с другими областями математики, такими, например, как современная дифференциальная геометрия, функциональный анализ, абстрактно-алгебраическая теория автоматов.
Первые исследования, посвященные П., относятся к 20-м гг. 20 в. К концу 50-х гг. теория П. сформировалась в самостоятельную ветвь современной алгебры и продолжает активно разрабатываться. Изучением абстрактных (т. е. не зависящих от конкретной природы элементов) свойств всевозможных ассоциативных операций занимается т. н. алгебраическая теория П. Одна из главных её задач состоит в описании строения различных П., их классификации. Наложение на полугрупповую операцию тех или иных дополнительных ограничений выделяет ряд важных типов П., среди которых т. н. вполне простые П., инверсные П. и др. Заметную часть общей теории составляет теория представлений П. преобразованиями и матрицами. Внесение в П. дополнительных структур, согласованных с полугрупповой операцией, выделяет особые разделы теории П., таких, как, например, теория топологических П.
Лит.: Сушкевич А. К., Теория обобщенных групп, Хар. — К., 1937; Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960; Клиффорд А. Х., Престон Г. Б., Алгебраическая теория полугрупп, пер.(перевод) с англ.(английский), т. 1—2, М., 1972; Hofmann К., Mostert P., Elements of compact semigroups, Columbus (Ohio), 1966.
