Минковского пространство

Минковского пространство, четырёхмерное пространство, объединяющее физическое трёхмерное пространство и время; введено Г. Минковским в 1907—1908. Точки в М. п. соответствуют «событиям» специальной теории относительности (см. Относительности теория).

  Положение события в М. п. задаётся четырьмя координатами — тремя пространственными и одной временной. Обычно используются координаты x₁ = х, x₂  = у, х₃ = z, где х, у, z — прямоугольные декартовы координаты события в некоторой инерциальной системе отсчёта, и координата x₀ = ct, где t — время события, с — скорость света. Вместо xo можно ввести мнимую временную координату x₄ = ix₀ = ict.

  Из специальной теории относительности следует, что пространство и время не независимы: при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой пространственные координаты и время преобразуются друг через друга посредством Лоренца преобразований. Введение М. п. позволяет представить преобразования Лоренца как преобразование координат события x₁, x₂, x₃, x₄ при поворотах четырёхмерной системы координат в этом пространстве.

  Основной инвариант М. п. — квадрат длины четырёхмерного вектора, соединяющего две точки — события, не меняющийся при вращениях в М. п. и равный по величине (но противоположный по знаку) квадрату четырёхмерного интервала (s²_AB) специальной теории относительности:

(x_1A — x_1B)² + (х_2А — x_2B)² + (x_3A — x_3B)² + (x_4A — x_4B)² = (x_A — x_B)² + (у_А — y_B)² + (z_A — z_B)² — c²(t_A — t_B)² = -s²_AB

(индексами А и В отмечены пространственные координаты и время событий А и В соответственно). Своеобразие геометрии М. п. определяется тем, что это выражение содержит квадраты составляющих четырёхмерного вектора на временную и пространственные оси с разными знаками (такая геометрия называется псевдоевклидовой, в отличие от евклидовой геометрии, в которой квадрат расстояния между точками определяется суммой квадратов составляющих вектора, соединяющего точки, на соответствующие оси). Вследствие этого четырёхмерный вектор с отличными от нуля составляющими может иметь нулевую длину; это имеет место для вектора, соединяющего два события, связанных световым сигналом:

(x_A — x_B)² + (у_А — у_В)² + (z_A — z_B)² = c²(t_A — t_B)².

  Геометрия М. п. позволяет наглядно интерпретировать кинематические эффекты специальной теории относительности (изменение длин и скорости течения времени при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой и т. д.) и лежит в основе современного математического аппарата теории относительности.

  Г. А. Зисман.