Больцмана статистика
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Больцмана статистика

Больцмана статистика, фізична статистика для систем з великого числа невзаємодіючих часток. Строго Б.с. підкоряються атомні і молекулярні ідеальні гази, тобто гази, в яких потенційна енергія взаємодії молекул вважається рівною нулю. Реально до таких систем відносяться розріджені гази, молекули яких слабо взаємодіють один з одним.

загрузка...

  При великому числі часток в системі неможливо детально описати поведінку кожної частки. Проте загальні межі поведінки системи в цілому є усередненим віддзеркаленням руху окремих часток. Частки розподіляються по можливих для них станах — їх координати r і імпульси р приймають певні значення. Математично це описується функцією розподілу, що характеризує вірогідність перебування частки в даному стані.

  Для ідеального газу молекул зовнішніх сил, що знаходяться в полі, функція розподілу Больцмана має вигляд:

де р 2 /2m — кінетична енергія молекули маси m, U ( r ) її потенційна енергія в зовнішньому полі, до — Больцмана постійна, Т — абсолютна температура газу; постійна А визначається з умови, що сумарне число часток, розподілених по всіх можливих станах, дорівнює повному числу часток в системі (умова нормування). Оскільки величина kt характеризує середню енергію теплового руху молекули, то в Би. с. розподіл часток по станах визначається відношенням повної енергії частки (кінетична плюс потенційна) до енергії її теплового руху.

  Функція розподілу (1) містить два співмножника: ехр (- р 2 / 2 mкТ ) і exp (- U ( r ) / kt ) . Перший з них визначає розподіл молекул по імпульсах (або швидкостям), тобто є Максвелла розподілом, а другий — розподіл по координатах в полі зовнішніх сил. Тому інколи лише другу залежність називають розподілом Больцмана, а формулу (1) називають розподілом Максвелла — Больцмана.

  За допомогою функції розподілу Больцмана легко отримати формулу зміни концентрації молекул повітря (незалежно від їх імпульсу) із зміною висоти над земною поверхнею, а отже, і барометричну формулу, визначальну залежність тиску повітря від висоти.

  В квантовій статистиці замість функції розподілу розглядається середнє число часток, що знаходяться в даному квантовому стані з енергією E i , і розподіл Больцмана виглядає таким чином:

  Постійна А знаходиться з умови

де N — загальне число часток в системі і рівна А = ( N/v )( h 2 /mkt ) 3/2 ( V — об'єм газу, h — Планка постійна ) . Розподіл (2) є граничним випадком квантових статистик Бозе — Ейнштейна і Фермі — Дираку, коли можна нехтувати квантовомеханічними ефектами, пов'язаними з взаємним впливом тотожних часток (див. Тотожності принцип ) . Воно справедливе для систем, в яких всі числа  малі в порівнянні з 1; це означає, що частки проводять майже весь час в станах, що сильно розрізняються, і тому специфічний вплив їх один на одного не виявляється.

  Квантова Б. с. справедлива при малій щільності газу N/v і високих температурах (при даній масі часток). Фактично Б. с. застосовна для всіх розріджених молекулярних газів, т.к. масса молекул велика і квантова дія тотожних часток один на одного повинна була б виявитися лише при настільки високій щільності і низьких температурах, які відповідають твердому (для гелію — рідкому) стану речовини (а в цьому випадку Б. с. взагалі непридатна, т.к. взаїмодействіє молекул велике). До електронного газу в металах і газу світлових квантів — фотонів — Би. с. непридатна (див. Статистична фізика ) .

 

  Літ. див.(дивися) при ст. Статистична фізика .

  Ст П. Павлов.