Асимптотичне вираження, порівняно проста елементарна функція, приблизно рівна (з як завгодно малою відносною погрішністю) складнішій функції при великих значеннях аргументу (або при значеннях аргументу, близьких до даного значення, наприклад нулю); А. ст інколи називається також асимптотичною формулою або оцінкою. Точне визначення: функція j ( x ) є А. ст для f ( x ) при х ® ¥ (або х ® а ), якщо f ( x ) /j ( x ) ® 1 при х ® ¥ (або х ® а ), або, що те ж саме, якщо f ( x ) = j ( x )[1 + а ( x )], де а ( х ) ® 0 при х ® ¥ (або х ® а ) . В цьому випадку пишуть: f ( x ) ~ j ( x ) при х ® ¥ (або х ® а ) . Як правило, j (x) має бути легко обчислюваною функцією. Простими прикладами А. ст при х ® 0 можуть служити sin x ~ x, tg x ~ x, ctg x ~ 1 /x, 1 - cos x ~ x 2 2, ln(1 + x ) ~ x, a x - 1 ~ x ln а (а > 0, а ¹ 1). Складніші А. ст при х ® ¥ виникають для важливих функцій з теорії чисел і спеціальних функцій математичної фізики. Наприклад, p( x ) ~ x/ ln х, де p( x ) — число простих чисел, що не перевершують х,
Ще складнішими А. ст володіють, наприклад, Бесселя функції .
А. ст розглядаються також в комплексній плоскості z = x + iy. Так, наприклад, \sin ( x + iy ) \ ~ e /y/ /2 при в ® ¥ і в ® -¥.
А. ст є, взагалі кажучи, окремим випадком (головним членом) складніших (і точних) наближених виразів, званих асимптотичними рядами, або розкладаннями.
Літ.: де Брейн Н. Р., Асимптотичні методи, в аналізі пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотичні оцінки і цілі функції, 2 видавництва, М., 1962.
