Інтерполяційні формули, формули, що дають наближене вираження функції в = f ( x ) за допомогою інтерполяції, тобто через інтерполяційний многочлен Р n ( х ) міри n , значення якого в заданих точках x 0 , x 1 ..., х n збігаються з значеннями в 0 , в 1 ..., у n функції f в цих крапках. Многочлен Р n ( х ) визначається єдиним чином, але залежно від завдання його зручно записувати різними по вигляду формулами.
1. Інтерполяційна формула Лагранжа:
Помилка, здійснена при заміні функції f ( x ) вираженням P n ( x ), не перевищує по абсолютній величині
де М-код — максимум абсолютної величини ( n + 1) -ої похідної f n +1 ( x ) функції f ( x ) на відрізку [ x 0 , x n ].
2. Інтерполяційна формула Ньютона. Якщо точки x 0 , x 1 ..., x n розташовані на рівних відстанях ( x до = x 0 + kh ), многочлен P n ( x ) можна записати так:
(тут x 0 + th = х , а D до — різниці до -го порядку: D до y i = D до — 1 y i +1 — D до — 1 y i ). Це так звана формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення в , відповідні вузлам інтерполяції, що знаходяться лише вправо від x 0 . Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень х , близьких до x 0 . При інтерполяції функцій для значень х , близьких до найбільшого вузла х n , уживається схожа формула Ньютона для інтерполяції назад. При інтерполяції функцій для значень x , близьких до x до , формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. нижчий за формулу Стірлінга і Бесселя).
Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддалених вузлів, прибігаючи для цієї мети до розділених різниць (див. Кінцевих різниць числення ). На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який до -й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (у цьому перевага формули Ньютона).
3. Інтерполяційна формула Стірлінга:
(про значення символу m і зв'язки центральних різниць d m з різницями D m див. ст. Кінцевих різниць числення ) застосовується при інтерполяції функцій для значень х , близьких до одного з середніх вузлів а ; в цьому випадку природно узяти непарне число вузлів х — до ..., х — 1 , x 0 , x 1 ..., x n , рахуючи а центральним вузлом x 0 .
4. Інтерполяційна формула Бесселя:
застосовується при інтерполяції функцій для значень х , близьких середині а між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів х — до ..., х —1 , x 0 , x 1 ..., x до , x до + 1 , і розташовувати їх симетрично відносно а ( x 0 < а < x 1 ).
