Факторний аналіз, розділ статистичного аналізу багатовимірного. об'єднуючий методи оцінки розмірності безлічі спостережуваних змінних за допомогою дослідження структури коваріационних або кореляційних матриць. Основне припущення Ф. а. полягає в тому, що кореляційні зв'язки між великим числом спостережуваних змінних визначаються існуванням меншого числа гіпотетичних спостережених змінних або чинників. В термінах випадкових величин – результатів спостережень X 1 ..., X n загальною моделлю Ф. а. служить наступна лінійна модель:
(*),
,
де випадкові величини f j суть загальні чинники, випадкові величини U i суть чинники, специфічні для величин X i і не корельовані з f j , а e i ; суть випадкові помилки. Передбачається, що до < n задане, випадкові величини e i незалежні між собою і з величинами f j і U i і мають Е e i = 0, D e i = s 2 i . Постійні коефіцієнти a ij називаються факторними навантаженнями (навантаження i -ої змінної на j -й чинник). Значення a ij , b i , і s 2 i вважаються невідомими параметрами, що підлягають оцінці. У вказаній формі модель Ф. а. відрізняється деякою невизначеністю, т.к. n змінних виражаються тут через n + до інших змінних. Проте рівняння (*) містять в собі гіпотезу про коваріационной матриці, яку можна перевірити. Наприклад, якщо чинники f j некорельовані і c ij – елементи матриці коваріацій між величинами X i , то з рівнянь (*) виходить вираження для c ij через факторні навантаження і дисперсії помилок:
.
Т. о., загальна модель Ф. а. рівносильна гіпотезі про коваріационной матрицю, а саме про те, що коваріационная матриця представляється у вигляді суми матриці А = { a ij } і діагональної матриці L з 2 елементами s 2 i .
Процедура оцінювання у Ф. а. складається з двох етапів: оцінки факторної структури – числа чинників, необхідного для пояснення кореляційного зв'язку між величинами X i , і факторного навантаження, а потім оцінки самих чинників за результатами спостереження. Принципові труднощі при інтерпретації набору чинників полягають в тому, що при до > 1 ні факторні навантаження, ні самі чинники не визначаються однозначно, т.к. в рівнянні (*) чинники f j можуть бути замінені будь-яким ортогональним перетворенням. Це властивість моделі використовується в цілях перетворення (обертання) чинників, яке вибирається так, щоб спостережувані величини мали б максимально можливі навантаження на один чинник і мінімальні навантаження на останні чинники. Існують різні практичні способи оцінки факторних навантажень, що мають сенс в припущенні, що X i ..., Xn підкоряються багатовимірному нормальному розподілу з коваріационной матрицею З = { с ij }. Виділяється максимальної правдоподібності метод, який приводить до єдиних оцінок для c ij , але для оцінок a ij дає рівняння, яким задовольняє незліченну безліч рішень, однаково хороших по статистичних властивостях.
Ф. а. виник і спочатку розроблявся в завданнях психології (1904). Область його застосування значно ширша – Ф. а. знаходить вживання при рішенні різних практичних завдань в медицині, економіці, хімії і т.д. Проте багато результатів і методи Ф. а. поки що не обгрунтовані, хоча практики ними широко користуються. Математичний строгий опис сучасного Ф. а. – завдання вельми важке і до цих пір повною мірою не вирішене.
Літ.: Лоул і Д., Максвелл А., Факторний аналіз як статистичний метод, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1967; Харман Р., Сучасний факторний аналіз, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1972.
