Фазової плоскості метод, графоаналітичний метод дослідження динамічних систем, описуваних рівняннями вигляду:
,
,
де х і в – змінні стани системи, Р ( х, в ) і Q ( х, в ) – функції, що задовольняють умовам теорем існування і єдиності рішень, t – час (незалежна змінна). Поведінку такої системи можна представити геометрично на плоскості в прямокутних декартових координатах. При такому представленні кожному стану динамічної системи однозначно відповідає крапка на плоскості з координатами х, в і, навпаки, кожній точці плоскості відповідає одне, і лише один стан досліджуваної динамічної системи. Плоскість Оху називається фазовою плоскістю. Зміна стану системи відображується на фазовій плоскості рухом крапки, яку називають фазовою крапкою, що змальовує або представляючою. Траєкторія, по якій рухається крапка, що змальовує, називається фазовою траєкторією; швидкість і напрям її руху визначаються вектором фазової швидкості { Р, Q }. Істотно, що через кожну точку фазової плоскості проходить лише одна фазова траєкторія. Сукупність фазових траєкторій називається фазовим портретом системи і відображує сукупність всіх можливих поєднань системи і типів можливих рухів в ній.
На фазовій плоскості зазвичай виділяють наступних трьох типів фазових траєкторій: особливі крапки, або положення рівноваги, визначувані в результаті вирішення системи рівнянь
Р ( х, в ) = 0, Q ( х, в ) = 0;
ізольовані замкнуті траєкторії, що відповідають періодичним рухам в системі; сепаратріси, що розділяють фазову плоскість на області, заповнені траєкторіями різних типів. Ф. п. м. полягає в побудові фазового портрета системи і подальшого аналізу цього портрета. Метод дозволяє визначити число, типів і характер особливих крапок, ізольованих замкнутих траєкторій і сепаратріс і дає можливість по вигляду фазових траєкторій наочно представити всю сукупність рухів, що виникають в динамічній системі за всіляких початкових умов. Особливі крапки класифікують по характеру фазових траєкторій в їх околиці: основні типи особливих крапок змальовані на мал. 1 . Ізольовані замкнуті траєкторії (граничні цикли) класифікують по характеру їх стійкості ( мал. 2 ).
У поєднанні з аналітичними методами Ф. п. м. дозволяє отримувати кількісні оцінки вирішень диференціальних рівнянь, що описують динамічну систему, наприклад оцінювати тривалість переходу крапки, що змальовує, з одного стану в інше (тобто тривалість перехідного процесу), визначати період і «амплітуду» періодичного руху і тому подібне Теоретичні основи Ф. п. м. розроблені А. Пумнкаре . Ф. п. м. – один з методів качественой теорії динамічних систем; він широко використовується в теорії коливань, теорії автоматичного управління, в електротехніці і механіці.
Літ.: Пумнкаре А. О., Про криві, визначувані диференціальними рівняннями, пер.(переведення) з франц.(французький), М. – Л., 1947; Немицкий В, Ст, Степанов Ст Ст, Якісна теорія диференціальних рівнянь, 2 видавництва, М. – Л., 1949; Андронов А. А., Вітт А. А., Хайкин С. Е., Теорія коливань, 2 видавництва, М., 1959; Якісна теорія динамічних систем другого порядку, М., 1966; Емельянов С. Ст, Системи автоматичного управління із змінною структурою, М., 1967; Марчуков Би. А., Проектування систем управління методами фазової плоскості, М., 1976.
