Субгармонійні функції, функції, що задовольняють в деякій області нерівності
.
В_случає_,_когда D f = 0, функція f є гармонійною функцією . Поняття С. ф. можна розглядати як узагальнення поняття гармонійної функції. При n = 1 умова D f ³ 0 приймає вигляд, тобто С. ф. одного змінного є опукла функція. Тому поняття С. ф. можна розглядати також як поширення поняття опуклої функції на випадок будь-якого числа змінних. Так, наприклад, подібно до того як всяка дуга графіка опуклої функції лежить нижче за хорду, що сполучає її кінці, всяка обмежена деяким контуром частина поверхні z = f ( x, в ) , де f ( x, в ) — С. ф. два змінних лежить поверхні z , що нижче проходить через той же контур = F ( x, в ) , де F ( x , в ) — гармонійна функція (звідси назва «субгармонійна», тобто «підгармонійна»).
Приведене вище визначення передбачає, що функція f має приватні похідні другого порядку. Від цього обмеження звільняються, безпосередньо виражаючи відмічене тільки що властивість графіка С. ф. розташовуватися нижче за графік гармонійної функції.
Супергармонійні функції (від латів.(латинський) super — над) — функції, що задовольняють нерівності D f £ 0. Якщо f — супергармонійна функція, то f є С. ф., і навпаки. Класичні приклади С. ф. і супергармонійних функцій: для n = 2 логарифмічний потенціал
і для n = 3 об'ємний потенціал
(тут r — щільність мас або зарядів). Функції ці усередині областей G і Т задовольняють відповідно рівнянням Пуассона DV = — 2pr і DU = — 4pr і, отже, є супергармонійними при r ³ 0 і С. ф. при r < 0.
С. ф. застосовуються, наприклад, при вирішенні завдань математичної фізики (зокрема, в теорії потенціалу), теорії випадкових процесів.
Літ.: Привалів І. І., Субгармонійні функції, М-код.—Л., 1937.
