Симетричні функції, функції декілька змінних, що не змінюються при будь-яких перестановках змінних, наприклад або . Особливе значення в алгебрі мають симетричні многочлени (с. м.) і серед них — елементарні симетричні многочлени (е. с. м.) — функції
.,,
де суми поширені на комбінації нерівних між собою чисел до , l ,...; вони мають першу міра відносно кожної із змінних. Згідно з формулами Вієта, x 1 , x 2 ..., x n є корінням рівняння:
x n - f 1 x n-1 + f 2 x n-2 - ··· + (- 1 ) n f n = 0.
Згідно з основною теоремою теорії С. ф., будь-який с. м. представляється як многочлен від е. с. м., і притому лише єдиним чином: F ( x 1 , x 2 . , ... , x n ) = G ( f 1 , f 2 ..., f n ); якщо всі коефіцієнти в F цілі, то і коефіцієнти в G цілі. Іншими словами, всякий с. м. від коріння рівняння виражається цілим раціональним чином через його коефіцієнти; наприклад,
.
Іншим важливим класом С. ф. є статечні суми
.
Вони пов'язані з е. с. м. формулами Ньютона
s i - f 1 s l-1 + f 2 s l-2 + ··· + (— 1) l f l = 0,,
і
s n+l - f 1 s n+l-1 + ··· +(-1) n f n s l = 0,
,
що дозволяють послідовно виражати f до через s rn і назад.
Функція називається кососимметрічеськой, або знакозмінною, якщо вона не змінюється при парних перестановках x 1 , x 2 , ... , x n і міняє знак при непарних перестановках. Такі функції раціонально виражаються через f 1 , f 2 , ... , f n і різницевий твір (див. Дискримінант ) D = П к<1 ( x до — x l ), квадрат якого є С. ф. і тому раціонально виражається через f 1 , f 2 ..., f n .
Літ.: Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 10 видавництво, М., 1971.
