де X 1 , X 2 , ..., X n — задані функції незалежних змінних x 1 , x 2 , ..., x n . Вивчалися І. Ф. Пфаффом (1814—15). Вирішення рівняння (1) складається із співвідношень
(2)
таких, що рівняння (1) є слідством їх і співвідношень df 1 = 0, df 2 = 0 ..., df m = 0. Співвідношення (2) визначають інтегральне різноманіття П. в. (1). Якщо через кожну точку n -мерного простору x 1 , x 2 , ..., x n проходіт ( n — 1) -мерная інтегральна гіперповерхня, тобто якщо рівняння (1) інтегрується одним співвідношенням, що містить одну довільну постійну, то воно називається сповна інтегрованим.
В випадку трьох незалежних змінних х, в, z П. в. може бути записано у вигляді
Pdx + Qdy + Rdz = 0, (1’)
де Р = Р ( х , в , z ), Q = Q ( х , в , z ), R = R ( х , в , z ). Геометрично вирішення рівняння (1’) означає знаходження кривих в просторі х , в , z , ортогональних в кожній своїй крапці векторному полю { Р , Q , R }, тобто таких кривих, нормальна плоскість до яких в кожній крапці містить вектор поля. Такі криві є інтегральними кривими рівняння (1’). Якщо задати одне співвідношення Ф ( х , в , z ) = 0 довільно, тобто шукати інтегральні криві на довільній гладкій поверхні то з рівняння (1’) і співвідношення
знаходяться, наприклад, dy / dx і dz / dx як функції х , в , z , і завдання зводиться до інтеграції системи двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Вирішуючи її, знаходять двопараметричне сімейство кривих, з якого виділяють однопараметричне сімейство інтегральних кривих рівняння (1''), лежачих на заданій поверхні Ф ( х , в , z ) = 0. Це сімейство інтегральних кривих може розглядатися як пересічення заданої поверхні і однопараметричного сімейства поверхонь Ф 1 ( х , в , z , з ) = 0, тобто загальне вирішення П. в. (1'') складається з двох співвідношень Ф ( х , в , z ) = 0 і Ф 1 ( х , в , z , з ) = 0, з яких перше довільно, а друге визначається по першому. П. в. (1'') інтегрується одним співвідношенням F ( х , в , z , з) = 0, тобто є сповна інтегрованим, якщо виконується умова інтегрованості
тотожно відносно х , в , z. Геометрично це означає, що існує однопараметричне сімейство інтегральних поверхонь П. в. (1’), ортогональних в кожній крапці векторному полю { Р , Q, R }. Будь-яка крива на інтегральній поверхні є інтегральній кривій П. в. (1’).
Теорія П. в. узагальнена на випадок систем П. в., що грають особливо важливу роль в додатках. П. в. і системи П. в. зустрічаються в механіці неголономних систем, т.к. неголономниє зв'язки суть П. в. між віртуальними переміщеннями, а також в термодинаміці.
Літ.: Рашевський П. До., Геометрична теорія рівнянь з приватними похідними, М. — Л.,1947; Степанов Ст Ст, Курс диференціальних рівнянь, 8 видавництво, М., 1959; Goursat Е., Leçons sur le problème de Pfaff, P., 1922.
