Періодичний дріб, безконечний десятковий дріб, в якому, починаючи з деякого місця, стоїть лише певна група цифр, що періодично повторюється. Наприклад, 1,3181818...; коротше цей дріб записують так: 1,3(18), тобто поміщають період в дужки (і говорять: «18 в періоді»). П. д. називається чистою, якщо період починається відразу після коми, наприклад 2(71)= 2,7171..., і змішаною, якщо після коми є цифри, передуючі періоду, наприклад 1,3(18). Роль П. д. у арифметиці обумовлена тим, що при представленні раціональних чисел, тобто звичайних (простих) дробів, десятковими дробами, завжди виходять або кінцеві, або періодичні дроби. Точніше: кінцевий десятковий дріб виходить у тому випадку, коли знаменник нескоротною простій дробу не містить інших простих множників, окрім 2 і 5; у всіх інших випадках виходить П. д., і притому чиста, якщо знаменник даної нескоротного дробу зовсім не містить множників 2 і 5, і змішана, якщо хоч би один з цих множників міститься в знаменнику. Всяка П. д. може бути обернена в простий дріб (тобто вона дорівнює деякому раціональному числу). Чиста П. д. рівна простою дробу, чисельником якого служить період, а знаменник зображається цифрою 9, написаною стільки раз, скільки цифр в періоді; при зверненні в простий дріб змішаною П. д. чисельником служить різниця між числом змальовуваним цифрами, передуючими другому періоду, і числом, що змальовується цифрами, передуючими першому періоду; для складання знаменника треба написати цифру 9 стільки раз, скільки цифр в періоді, і приписати справа стільки нулів, скільки цифр до періоду. Ці правила передбачають, що дана П. д. правильна, тобто не містить цілих одиниць; інакше ціла частина враховується особливо.
Приклади:
Відомі також правила визначення довжини періоду П. д., відповідному даному звичайному дробу. Наприклад, для дробу a/p , де р — просте число і 1 £ а £ p — 1, довжина періоду є дільником р — 1. Так, для відомих наближень до (див. Пі ) 22 / 7 і 355 / 113 період рівний 6 і 112 відповідно.
