Перший інтеграл системи звичайних диференціальних рівнянь
, i = 1 ., n
— співвідношення вигляду
(де З — довільна постійна), ліва частина якого зберігає постійне значення при підстановці будь-якого вирішення y 1 = y 1 ( x ) ..., y n = y n ( x ) системи, але не є тотожною постійною (див. Диференціальні рівняння ) . Геометрично П. і. є сімейством гіперповерхонь в ( n + 1) -мерном просторі Oxy 1 ... y n , на кожній з яких розташована деяка підродина інтегральних кривих системи. Наприклад, одним з П. і. системи є y 2 + x 2 = C 2 (кругові циліндри); інтегральні криві в = C sin ( x — x 0 ) , z = C cos ( x—x 0 ) суть гвинтові лінії, розташовані на цих циліндрах (див. мал. ). Якщо відоме до незалежних П. і. Ф i (x 1 , y 1 ..., у п ) = C i (i = 1..., до; до < n ) системи, то її порядок, взагалі кажучи, може бути знижений на до одиниць; якщо до = n, те загальний інтеграл системи виходить без інтеграції.
Літ.: Степанов Ст Ст, Курс диференціальних рівнянь, 8 видавництво, М., 1959.
