Первісний корінь по модулю m, таке число g, що позитивне найменше число до, для якого різниця g до — 1 ділиться на m ( g до порівнянно з 1 по модулю m ) , збігається з j( m ), де j( m ) — число натуральних чисел, менших m і взаємно простих з m. Наприклад, при m = 7 П. до. по модулю 7 є число 3. Дійсно j(7)= 6; числа 3 1 — 1 = 2, 3 2 — 1 = 8, 3 3 — 1 = 26, 3 4 — 1 = 80, 3 5 — 1 = 242 не діляться на 7, лише 3 6 — 1 = 728 ділиться на 7. П. до. існують, коли m = 2, m = 4, m = р а , m = 2 p а (де р — просте непарне число, а — ціле ³1), а для інших модулів їх немає. Число П. до. у цих випадках рівне j[j(m)] (числа, різниця яких кратна m, не вважаються за різних). І. М. Винограду в 1926 встановив, що в інтервалі (1, 2 2 до lnp ) знайдеться П. до. по модулю р, де р — просте непарне число, до — число різних простих дільників числа р — 1. Див. також Чисел теорія, Індекси в теорії чисел.
Літ.: Винограду І. М., Основи теорії чисел, 8 видавництво, М., 1972; його ж, Ізбр. праці. М., 1952, с. 54—57.
