Коректні і некоректні завдання, класи математичних завдань, які розрізняються мірою визначеності їх рішень. Багато математичних завдань полягають в тому, що за вихідними даними u шукається вирішення z. При цьому вважається, що u і z зв'язані функціональною залежністю z = R (u). Завдання називається коректним завданням (або коректно поставленою), якщо виконані наступні умови (умови коректності): 1) завдання має рішення при будь-яких допустимих вихідних даних (існування рішення); 2) кожним вихідним даним u відповідає лише одне рішення (однозначність завдання); 3) рішення стійке.
Сенс першої умови полягає в тому, що серед вихідних даних немає тих, що перечать один одному умов, що унеможливлювало б рішення задачі.
Друга умова означає, що вихідних даних досить для однозначної визначеності рішення задачі. Ці дві умови зазвичай називають умовами математичної визначеності завдання.
Третя умова полягає в наступній. Якщо u 1 і u 2 — два різні набори вихідних даних, міра ухилення яких один від одного досить мала, то міра ухилення вирішень z 1 = R (u 1 ) і z 2 = R (u 2 ) менше будь-якої наперед заданої міри точності. При цьому передбачається, що в різноманітті U = {u} допустимих вихідних даних і в різноманітті можливих вирішень Z = {z} встановлене поняття міри ухилення (або заходи близькості) r(u 1 , u 2 ) і r*(z 1 , z 2 ) . Третя умова зазвичай трактується як фізична детермінована завдання. Це пояснюється тим, що вихідні дані фізичного завдання, як правило, задаються з деякою погрішністю; при порушенні ж третьої умови як завгодно малі обурення вихідних даних можуть викликати великі відхилення в рішенні.
Завдання, що не задовольняють хоч би одній умові коректності, називаються некоректними завданнями (або некоректно поставленими).
Увага до коректності завдань була притягнена французьким математиком Ж. Адамаром у зв'язку з рішенням краєвих завдань для рівнянь з приватними похідними. Поняття коректності завдань з'явилося, зокрема, приводом для класифікації краєвих завдань таких рівнянь.
Існувало думка, що некоректні завдання не можуть зустрічатися при вирішенні фізичних і технічних завдань і що для некоректних завдань неможлива побудова наближеного рішення в разі відсутності стійкості. Розширення засобів автоматизації при здобутті експериментальних даних привело до великого збільшення об'єму таких даних; необхідність встановлення по ним інформації про природничонаукові об'єкти зажадала розгляди некоректних завдань. Розвиток електронної обчислювальної техніки і вживання її до вирішення математичних завдань змінив точку зору на можливість побудови наближених вирішень некоректно поставлених завдань.
Поняття наближеного рішення для До. і н. з. істотно різні. У якості наближеного вирішення z = R (u) коректного завдання можна брати точне її рішення з наближеними вихідними даними , т. до. для будь-якій точності e наближеного рішення коректної задачі через третю умову існує така точність d(e) вихідних даних, що, якщо, то . Для некоректних завдань точне рішення з наближеними вихідними даними не можна приймати як наближене рішення. Проте завдання наближених початкових даних в природних науках може бути охарактеризовано не лише вихідним елементом , але і мірою його точності d . Т. о., для визначення наближеного рішення є не лише елемент , але і параметр d . Поняття наближеного рішення задачі z = R (u) вводиться з допомогою т.з. параметричного оператора R d (u), залежного від параметра d і званого регулярізірующим (або що виправляє) оператором. Якщо оператор R d (u) визначений для всіх d > 0 і всіх , вхідних в клас допустимих вихідних даних, і якщо z = R (u), те для будь-якої заданої точності e існує (хоч би в принципі) таке d(e) , що для будь-якого елементу рішення ухиляється від z менше, ніж на задану точність e , тобто .
Т. о., наближене рішення некоректної задачі може бути зведено до знаходження регулярізірующего оператора, який визначає стійке наближення до z.
Прикладом некоректного класичного математичного завдання може служити завдання наближеного диференціювання при певних (практично важливих) заходах точності завдання z і u. Саме, некоректним буде завдання про знаходження рівномірного наближення до z по рівномірному наближенню до u т. до. здесь не виконана перша умова коректності: не для всякої функції такий, що існує похідна , а також не виконується третя умова коректності: якщо навіть існує похідна , те з нерівності не слідує близькість похідних і u''(х). Проте як регулярізірующего оператор можна узяти при h >> d . Цей оператор визначений для всіх незалежно від їх діфференцируємості і в обмеженому проміжку дає рівномірне наближення для всякої функції u, що безперервно диференціюється (х).
Можна привести багато ін. прикладів класичних математичних завдань, що є некоректними при абсолютно природному виборі понять міри точності як для вихідних даних завдання, так і для можливих рішень: вирішення систем лінійних рівнянь алгебри з визначником, рівним нулю; завдання оптимального планерування; рішення інтегральних рівнянь 1-го роду; завдання аналітичного продовження; підсумовування рядів Фур'є; велике число краєвих завдань для рівнянні з приватними похідними.
Обширний клас некоректно поставлених завдань в природознавстві складають завдання обробки спостережень без додаткової (кількісною) інформації про властивості рішень. Якщо вивчається об'єкт, кількісні характеристики z якого недоступні для прямого вивчення, то зазвичай досліджуються деякі прояви цього об'єкту u, функціонально залежні від z. Завдання обробки спостережень полягає в рішенні «зворотної задачі», тобто у визначенні характеристики z об'єкту за результатами спостережень u; при цьому u задається приблизно.
Є багато робіт (особливо радянських математиків), присвячені методам наближеного вирішення некоректно поставлених завдань і їх вживань до вирішенню зворотних завдань. Ці роботи мають важливе значення для автоматизації обробки спостережень, для вирішення проблем управління і т. д.
Літ.: Тіхонов Д. Н., Про стійкість зворотних завдань, «Доповіді АН(Академія наук) СРСР», 1943, т. 39 № 5; його ж, Про вирішення некоректно поставлених завдань і метод регулярізациі, там же, 1963, т. 151 № 3; Лаврентьев М. М., Про деякі некоректні завдання математичної фізики, Новосиб., 1962.
