Дисперсионный анализ (в математике)

Дисперсионный анализ в математике, статистический метод выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента. Первоначально Д. а. был предложен английским статистиком Р. Фишером (1925) для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий, при которых испытываемый сорт с.-х.(сельскохозяйственный) культуры даёт максимальный урожай. Современные приложения Д. а. охватывают широкий круг задач экономики, биологии и техники и трактуются обычно в терминах статистической теории выявления систематических различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех или иных меняющихся условиях. Если значения неизвестных постоянных a₁,...., a_n могут быть измерены с помощью различных методов или измерительных средств M₁,..., М_m и в каждом случае систематическая ошибка может зависеть как от выбранного метода, так и от неизвестного измеряемого значения a_i, то результаты измерений x_ij представляют собой суммы вида

  x_ij = a_i, + b_ij + d_ij,

  i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m,

где b_ij — систематическая ошибка, возникающая при измерении a_i по методу M_j, d_ij — случайная ошибка. Такая модель называется двухфакторной схемой Д. а. (первый фактор — измеряемая величина, второй — метод измерения). Дисперсии эмпирических распределений, соответствующих множествам случайных величин

  x_ij, x_ij - x_{i *}- x _*j + x _**, x_{i *} и x _*j, где

выражаются формулами:

Эти дисперсии удовлетворяют тождеству

  s² = s²₀ + s²₁ + s²₂,

которое и объясняет происхождение названия Д. а.

  Если величины систематических ошибок не зависят от метода измерений (т. е. между методами измерений нет систематических расхождений), то отношение s²₂/s²₀ близко к единице. Это свойство лежит в основе критерия для статистического выявления систематических расхождений: если s²₂ls²₀ значимо отличается от единицы, то гипотеза об отсутствии систематических расхождений отвергается. Значимость отличия определяется в согласии с законом распределения вероятностей случайных ошибок измерений. В частности, если все измерения равноточны и случайные ошибки подчиняются нормальному распределению, то критические значения для отношения s²₂/s²₀ определяются с помощью таблиц так называемого F-распределения (распределения дисперсионного отношения).

  Изложенная схема позволяет лишь обнаружить наличие систематических расхождений и, вообще говоря, непригодна для их численной оценки с последующим исключением из результатов наблюдений. Эта цель может быть достигнута только при многократных измерениях (при повторных реализациях указанной схемы).

  Лит.: Шеффе Г., Дисперсионный анализ, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1963; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 2 изд., М., 1965.

  Л. Н. Большев.