Верхня і нижня грані (математичні), важливі характеристики безлічі на числовій прямій. Верхня грань (Ст р.) безлічі Е дійсних чисел — найменше зі всіх чисел А, що володіють тією властивістю, що для будь-якого х з Е виконується нерівність х £ А . Іншими словами, Ст р. безлічі Е — це таке число а, що для будь-якого x з Е виконується нерівність x £ а і для будь-якого a'' < а знайдеться число x 0 з Е, для якого x 0 > a'' . У цьому визначенні безліч Е передбачається не порожнім. Для існування Ст р. необхідно і досить, щоб безліч Е було обмежене зверху, тобто, щоб існували такі числа А, що х £ А для будь-якого x з Е. Ця пропозиція є однією з форм принципу безперервності числової прямої (так званий принцип безперервності Вейерштраса). Якщо серед чисел безлічі Е є найбільше, то воно і є Ст р. Е. Проте, якщо серед чисел Е немає найбільшого, то ця безліч все ж може мати Ст р. Наприклад, Ст р. безлічі всіх негативних чисел рівна 0. Безліч всіх позитивних чисел не обмежена зверху і тому не має Ст г.; інколи говорять, що його Ст р. рівна + ¥. Аналогічно поняттю Ст р. безлічі визначається нижня грань (Н. р.) безлічі Е як найбільше з чисел В, що володіють тією властивістю, що для будь-якого х з Е виконується нерівність x ³ B. Ст р. безлічі Е позначається sup Е (від латинського supremum — найвищий); Н. р. позначається inf Е (від латинського infirnum — наїнізший). Важливість понять Ст р. і Н. р. для математичного аналізу була з'ясована німецьким математиком До. Вейерштрасом, вони є основними для строгого викладу початків математичного аналізу. Аналогічно поняттю Ст р. (Н. р.) для числової безлічі вводяться поняття Ст р. (Н. р.) для будь-якої частково впорядкованої безлічі.
Літ.: Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 6 видавництво. т. 1, М., 1966.
