Бернуллі числа, спеціальна послідовність раціональних чисел, що фігурує в різних питаннях математичного аналізу і теорії чисел. Значення перших шести Б. ч.:
B 1 = 1 / 6 , B 2 = 1 / 30 , B 3 = 1 / 42 , B 4 = 1 / 30 ,
B 5 = 5 / 66 , B 6 = 691 / 2730 .
В математичному аналізі Б. ч. з'являються як коефіцієнти розкладання деяких елементарних функцій в статечні ряди. Наприклад:
До найважливіших формул, в яких зустрічаються Б. ч., відноситься формула підсумовування Ейлера — Маклорена (див. Кінцевих різниць числення ). Через Би. ч. виражаються суми багатьох рядів і значення невласних інтегралів. Би. ч. вперше з'явилися в посмертній роботі Я. Бернуллі (1713) у зв'язку з обчисленням суми однакових мір натуральних чисел. Він довів, що
Для Б. ч. відомі рекурентні формули, що дозволяють послідовно обчислювати ці числа, а також явні формули (що мають досить складний вигляд).
Великий інтерес представляють теоретіко-числові властивості Б. ч. Німецький математик Е. Куммер в 1850 встановив, що рівняння Ферма x p + у р = z p не вирішується в цілих числах х, в, z, відмінних від нуля, якщо просте число р > 2 не ділить чисельників Би. ч. B 1 , B 2 ,...B (p - 3) /2. Незрідка для позначення Б. ч. замість B m пишуть (-1) m - 1 B 2m (m = 1, 2...); крім того, вважають
B 0 = 1, B 1 = - 1 / 2 ,
B 3 = B 5 = B 7 =... = 0.
Літ.: Чистяков І. І., Бернуллієвиє числа, М., 1895; Кудрявцев Ст А., Підсумовування мір чисел натурального ряду і числа Бернуллі, М-код.—Л., 1936; Уїттекер Е.-Т. і Ватсон Д.-Н., Курс сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927.
