Чаплыгина неравенство, одно из важнейших дифференциальных неравенств. Если y’'(x) = f (x, y) и функции u (х) и v (x) удовлетворяют дифференциальным неравенствам u’'(х)—f (x, u) > 0и v’'(x) — f (x, v) < 0(x0£ x £ x1) и u (х0) = v (x0) = y0, то решение y (x) дифференциального уравнения у’'(х) = f (x, y),проходящее через точку (x0, y0), заключено между функциями u (х) и v (x), то есть u (х) > у (х) > v (x),(x0 < х £ x1). Эта теорема (здесь изложен простейший случай) была доказана С. А. Чаплыгиным(1919) и положена им в основу метода приближённого интегрирования дифференциальных уравнений (см. Чаплыгина метод). Чаплыгин доказал аналогичную теорему для уравнения у (n)—f (x, у, y',..., y (n¾1)) = 0 и распространил её на уравнения с частными производными.
