Структура, грати (математична); важливе поняття алгебри. С. називається непорожня безліч S, для елементів якого визначено дві операції — об'єднання і пересічення, що позначаються відповідно значками È і Ç (тобто кожній парі елементів а і b з S однозначно зіставлений елемент а È b з S — їх об'єднання і елемент а Ç b з S — їх пересічення), причому ці операції задовольняють наступним умовам (аксіомам С.):
1. Асоціативність == ( а È b ) È з, = а È( b Èс):
(а Ç b ) Ç с= а Ç (b Ç з);
II. Комутативність а È b = b È а;
а Ç b ) =b Ç а,
III. Абсорбція ( а È b ) Ç а= а.
(а Ç b ) È а== а.
Приклади С.: 1) безліч цілих позитивних чисел з операціями узяття найбільшого загального дільника і найменшого загального кратного; 2) безліч всіх підмножин довільної безлічі з операціями узяття теоретико-множинного об'єднання і пересічення підмножин; 3) безліч дійсних чисел з операціями узяття більшого і меншого числа з двох даних чисел.
Детально вивчені різні спеціальні типи С., тобто С., на яких накладені додаткові умови (наприклад, дистрибутивні С., модулярниє, або дедекиндови, С., С. з доповненнями). Вельми важливим окремим випадком С. є булева алгебра, тобто дистрибутивні С. з одиницею і нулем що володіють доповненнями до кожного елементу. Булева алгебра мають велике значення для математичної логіки і теорії вірогідності. Інші типи С. знаходять вживання в теорії безлічі, топології, функціональному аналізі.
В С. можна ввести часткове впорядкування (див. Впорядкована і частково впорядкована безліч ) елементів, природним чином пов'язане з операціями в С.; цим встановлюється равносильность теорії С. і теорії частково впорядкованої безлічі.
Поява поняття С. відноситься до середини 19 в.; якнайповніше воно було визначене в роботах Р. Дедекинда .
Літ.: Біркгоф Г., Теорія структур, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1952; Кушнірів Л. А., Елементи теорії структур, М., 1970; Сикорський Р., Булева алгебра, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1969; Володимирів Д. А., Булеві алгебра, М., 1969.
