Рекуррентная формула

Рекуррентная формула (от лат.(латинский) recurrens, родительный падеж recurrentis — возвращающийся), формула приведения, формула, сводящая вычисление n-го члена какой-либо последовательности (чаще всего числовой) к вычислению нескольких предыдущих её членов. Обычно эти члены находятся в рассматриваемой последовательности «недалеко» от её n-го члена, число их от n не зависит, а n-й член выражается через них достаточно просто. Однако возможны Р. ф. и более сложной структуры. Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций.

  Примеры. 1) Последовательность j_n — т. н. чисел Фибоначчи — задаётся формулами:

j₀ = 0, j₁ = 1, j_n+2 = j_n+1 + j_n (n > 0)

  Последняя из них является Р. ф.; она позволяет вычислить j₂, j₃ и дальнейшие члены этой последовательности.

  2) Пусть

  Нетрудно показать, что для n ³ 2 выполняется соотношение

.

  Это — Р. ф., сводящая вычисление I_n к вычислению /₀ или l₁ в зависимости от чётности n.

  Р. ф. обычно даёт удобную вычислительную схему для нахождения членов последовательности друг за другом. Однако иногда, исходя из Р. ф., стремятся получить «явное» выражение для n-го члена последовательности, описываемой этой Р. ф. Так, в случае чисел Фибоначчи

.