Резольвента

Резольвента (лат. resolvens, родительный падеж resolventis — развязывающий, решающий, от resolvo — развязываю, решаю) (математическая), разрешающее уравнение, разрешающая функция (ядро) или разрешающие операторы.

  В алгебре термин «Р.» употребляется в нескольких смыслах. Так, под Р. алгебраического уравнения f(x) = 0 степени n  понимают такое алгебраическое уравнение g(x) = 0 с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения f(x) = 0 в результате решения более простых уравнений, степеней не больших n. Например, уравнение

является одной из (кубической) Р. уравнения четвёртой степени

x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0.     (1)

  Если u₁, u₂, u₃ — корни этой Р., то корни x₁, x₂, x₃, x₄ уравнения (1) могут быть найдены решением квадратных уравнений s² — u_ks + a⁴ = 0, k = 1, 2, 3. Именно, если x_k, h_k — корни этих квадратных уравнений, то x₁x₂ = x₁, x₃x₄ = h₁, x₁x₃ = x₂, x₂x₄ = h₂, x₁x₄ = x₃, x₂x₃ = h₃ и x₁² = x₁x₂/h₃ и т. д. Резольвентой Галуа уравнения f(x) = 0 называется такое неприводимое над данным полем алгебраическое уравнение g(x) = 0 (см. Галуа теория), что в результате присоединения одного из его корней к этому полю получается поле, содержащее все корни уравнения f(x) = 0.

  В несколько ином смысле термин «Р.» употребляется в т. н. проблеме резольвент Гильберта и Чеботарева.

  В теории интегральных уравнений под Р. (разрешающим ядром) уравнения

      (2)

понимают функцию Г(х, t, l) переменных s, t и параметра l, при помощи которой решение уравнения (2) представляют в виде

,

если l не есть собственное значение уравнения (2), например для ядра К(s, t) = s + t резольвентой является функция

G (s, t; l) =

  В теории линейных операторов под Р. оператора А понимают семейство операторов R_l = (А — lE)^-1, где комплексный параметр l принимает любые значения, не принадлежащие спектру оператора А.