где a0, an, bn— коэффициенты Фурье функции f (x). Установлено в 1805 французским математиком М. Парсевалем (М. Parseval) при предположении о возможности почленного интегрирования тригонометрических рядов. В 1896 А. М. Ляпунов доказал, что это равенство справедливо, если функция ограничена в интервале (—p,p) и существует интеграл . Позже было установлено, что П. р. справедливо для любых функций с интегрируемым квадратом. В работах В. А. Стеклова установлена справедливость П. р. для рядов по др. ортогональным системам функций. См. также Тригонометрический ряд,Ортогональная система функций.
