Муавра формула

Муавра формула, формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

z = r (cos j + i sin j);

согласно М. ф., модуль r комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент j умножается на показатель степени

zⁿ = [r (cos j + i sin j)] ⁿ = rⁿ (cos nj + i sin nj).

  М. ф. была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

  М. ф. может быть легко использована для выражения cos nj и sin nj через степени cos j и sin j; положив в М. ф. r = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

cos nj = cosⁿ j - C_n² cos^n-2 j sin² j + C_n⁴ cos^n-4 j sin⁴ j -...,

sin nj = C_n¹ cos^n-1 j sin j - C_n³ cos^n-3 j sin³ j +...,

где C_n^m = n!/m!(n - m)! — биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином). Обращение М. ф. приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.