Управляемый случайный процесс

Управляемый случайный процесс, случайный процесс, вероятностные характеристики которого можно изменять с помощью управляющих воздействий. Основная цель теории У. с. п. – отыскание оптимальных (или близких к ним) управлений, доставляющих экстремум заданному критерию качества. В простейшем случае управляемых марковских цепей одна из математических постановок задачи нахождения оптимального управления формулируется следующим образом. Пусть X^d = (x_n,), n = 0, 1,..., – семейство однородных марковских цепей с конечным числом состояний Е = {0, 1, ..., N} и матрицами переходных вероятностей P_xy (d) =  {x₁ = у}, зависящих от параметра d, принадлежащего некоторому множеству управляющих воздействий D. Набор функций a = {а₀ (x₀), a₁ (x₀, x₁),...} со значениями в D называют стратегией, а каждую из функций a_n = а_п (х₀,..., х_п) – управлением в момент времени n. Каждой стратегии a отвечает управляемая марковская цепь X^a = (х_п,), n = 0,  1,..., где

   (x₀, x₁..., х_п) = d(х₀, х) Рх₀х₁ (a₀ (x₀))... Px_n-1x_n (a_n-1(x₀, x₁,..., x_n-1))

  Пусть:  

  где функция f (d, х) ³ 0 и f (d,0) = 0 (если точка {0} является поглощающим состоянием и f (d, x) = I, d Î D, x = 1,..., N, то V^a (x) есть матем.(математический) ожидание времени попадания из точки х в точку 0). Функцию

  называется ценой, а стратегию а* – оптимальной, если  = V (x) для всех х Î Е.

  При довольно общих предположениях о множестве D устанавливается, что цена V (x) удовлетворяет следующему уравнению оптимальности (уравнению Беллмана):

  ,

  где

.

  В классе всех стратегий наибольший интерес представляют т. н. однородные марковские стратегии, характеризуемые одной функцией а (х) такой, что a_n (x₀,..., x_n) = a (x_n) при всех n = 0, 1,...

  Следовательно, критерий оптимальности (или достаточное условие оптимальности) может быть использован для проверки того, что данная однородная марковская стратегия является оптимальной: пусть существуют функции a* = а*(х) и V* = V*(x) такие, что для любого d Î D

  0 = f (x, a*(x)) + L^a*V*£ f (x, d) + L^dV*(x)

  (L^d = T^d – I, I – единичный оператор), тогда V* является ценой (V* = V) и стратегия a* = a*(х) является оптимальной.

  Лит.: Ховард Р.-А., Динамическое программирование и марковские процессы, пер.(перевод) с англ.(английский), М. 1964.

  А. Н. Ширяев.