Симплекс (від латів.(латинський) simplex — простій) (математичний), простий опуклий многогранник даного числа вимірів n . При n = 3 тривимірний С. є довільний, у тому числі неправильний, тетраедр. Під двовимірним С. розуміють довільний трикутник, а під одновимірним — відрізок. Нульмірний С. є просто одна крапка.
n -мерний С. має n + 1 вершин, не що належать ні до якого ( n — 1) -мерному підпростору того евклідова простору (з числом вимірів n або більше), в якому лежить даний С. Назад, всякі n + 1 крапок евклідова n -мерного простори R m , m ³ n , не лежачі ні в якому підпросторі менш n вимірів, однозначно визначають n -mepний С. з вершинами в заданих точках e 0 e 1 ..., e n , він може бути визначений як опукле замикання сукупності заданих n + 1 крапок, тобто як пересічення всіх опуклих тіл простору R m , що містять ці крапки. Якщо в просторі R m дана система декартових координат x 1 , х 2 . .. , х т , в якій вершина e i i = 0, 1..., n , має координати x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , ..., x m ( i ) , то С. з вершинами e 0 , e 1 ..., e m складається зі всіх крапок простори, координати яких мають вигляд:
, до = 1,2, ... , m , де m ( 0 ) , m ( 1 ) ..., m ( n ) — довільні ненегативні числа, що дають в сумі 1. По аналогії з випадком n £ З можна сказати, що всі крапки С. з даними вершинами виходять, якщо в ці вершини помістити довільні ненегативні маси (з яких принаймні одна відмінна від нуля) і узяти центр тяжіння цих мас (додаткова вимога, щоб сума всіх мас дорівнювала 1, виключає лише випадок, коли всі маси — нульові).
Будь-які r + 1 вершин, 0 £ r £ n — 1, узяті з числа даних n + 1 вершин n -мерного С., визначають деякий r -мерний С. — r -мерную грань даного С. Нульмерниє грані С. суть його вершини, одновимірні грані називаються ребрами.
Літ.: Александров П. С., Комбінаторна топологія, М. — Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основи комбінаторної топології, М. — Л., 1947, с. 23—31.
